油盡燈枯，街角空洞冷清。街頭只剩下被活生生打死的人，屍體被野狗嚼食。時間晚上九點，地點是尖沙咀，可是街頭沒有一點光。馬路上只有撞毀一團的汽車，汽車都是突然機件故障失靈。汽車上的屍體，不是被狗咬掉了眼球，就是手被扯斷了一半，像木偶那樣隨風搖晃。風中恍惚有層膜，或者是那「東西」作祟。
街上只有一個活動的人，他身上反射出金屬的光芒，但是他沒有像汽車那樣失靈。這個人見到，街道上沒有活人，反而多了很多動物，貓、狗、鳥，甚至野豬。牠們都以人肉飽餐，似在復仇，報百幾年來被香港人迫到邊緣生存，還要被殘酷殺害的仇。
空氣中那見不到的東西，沒有殺掉這些動物，它只令人類自毀。動物重新佔據這個城市。
那個活的身影，由尖沙咀行到佐敦，只是步速愈來愈慢。他按著心臟、呼吸急速，快要倒下來。原來，他的機械結構都是敵不過空氣中飄浮的納米機械人，它們在侵入這個人身上經手術植入的維生機器。他己不能走動了，只好在地上爬。他要爬到某個地方，拚命地爬。他想，已經爬到京士柏了，快到了。
他感到自己不行了，他在褲袋拿出一支筆形的機器。機器像一支激光指示棒，他按動機器，發出了綠色的光束。他將光束指向遠處一群建築物，咀角露出一絲的笑容。他想，雖然這不是最理想的結果，但他已經辦到了。他用盡最後一份力扼著激光指示棒，頭已經無力面向著柏油路，下半身已經沒有知覺。附近的狗隻已經嗅到死亡的氣味，空群而出，圍著這個人在嗅探，等待他的死亡。
天上突然很光，像有很多的星星。狗隻在嚼食這個半人半機械的人的下半身，他還有知覺的上半身想：本來就已經是死人了，再死已經沒有所謂。他感到後腦有光，他知道已經成功了。
狗隻已經將他的下半身吃乾淨，突然地上傳來多聲轟隆巨響，把狗都嚇走了。天上掉下更多的大形物件，有一輛七人旅行車般大，共有廿多件。黑暗中這些物件在移動，似有甚麼的計劃似的。
那些原來是鑽地車，車頭有兩把巨鑽，像麥當娜的胸圍。奇怪的是，鑽地車沒有被空氣中的納米機械人入侵，從天空掉下來也沒有半點損耗。幾部鑽地車開始向地下鑽探，像要攻入某個地下城。鑽地車背後有一個倒數計，似在計算到達目的地所需時間。
有一部車鑽開馬路的瀝青，馬路上塗著「往伊利沙伯醫院」的字樣。另一部鑽地車輾過那個被狗吃了一半的人體，身體被輾成肉醬，夾雜的機器發生小型爆炸。頭部沒有被輾破，甩了出來像一個足球般在地上滾動。「足球」滾到牆邊停了下來。終於見到他的臉，原來他是陳永仁。
鑽地車距離到達目的地時間： 237 分鐘。

＜第十回完＞
待續

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(show chess board)(hide chess board)

一向在 Facebook 下棋，有點像 correspondence chess ，但是最近下棋的朋友太忙，於是網上周圍找人下棋。 Facebook 的 chess.com 最近加入了快棋（ Blitz Chess ），有在桌上下棋的刺激感。但是對比 correspondence chess ，思考時間少了很多，於是一定有不少 Blunders 。出乎意料之下，此局沒有太多 Blunders ，但明顯思想不算太周詳，於是有很多步都很 tactical ，至尾局甚至因為時間不足，連 Queen-king checkmate pattern 都忘記了。研究下這局棋，順手可以修正一下所犯的錯誤。¹ 我是用黑色。

1. d4 Nf6

Queen Pawn opening ，對付這個東西，我已經近乎 default 地用 Indian Defense ，只是因為我只記得這種行法，或者也因為我不太會拼一個 Pawn Structure 。我是一個 Hypermodern 的人。

2. Be3 d5

Be3 的行法不見經傳。可以保著那隻 Pawn ，不過單邊被塞著，也頂著 e 行的 Pawn 前進，令 King side 的 Bishop 難以 develop ，不似是好棋。² 書本中教的一步應是 c4 。
黑方的 d5 頂著對方推進，是我很喜歡的行法，因為可以安全的上另一隻 Knight 。

3. c3 Nc6

c3 也不似是好棋，因為令後面的 Knight 不可在 c3 出來。只會被迫去 a3/d2 ，都不是好位。我也如預料，行後方的 Knight 。各位想擊敗我的朋友，快點要記得這三步，我想我用黑色的話最少一半的棋局都是這樣行，只要找出這幾步的弱點，我就沒有運行。

4. b4 Bf5

b4 行出來，可能是想再行到 b5 恐嚇 c6 的 Knight ，但我是絕對不會讓他得呈， Bf5 以 Bishop 換 Knight ，這單交易不太成立的。如果我是白方，是不用理的。

5. Nd2 e6

白方走 Knight ，被這場交易嚇怕了。黑方行 e6 是因為要為 King side bishop 開路。

6. Ngf3 Bd6

白方行了另一隻 Knight ，是不錯的，終於都主動 develop 一下 Pawn 以外的東西。（除了那步很怪的 Be3 及被迫行的 Nd2 ）開局其中一個錯誤，是行太多 Pawn ，只需行中間幾個 Pawn 讓 Knight/Bishop 有路行就可以。黑方行 Bishop ，是清了 castling 通道而已。

7. a3 O-O

剛剛說過開局的錯誤，白方 a3 真的不知行來幹甚麼，浪費 tempo 。黑方 castling 了³ ，基本上隊形已經完成，進入 middle game 。白方仍然很慢。

8. g4 Bxg4

白方行 g4 是一個錯誤，因為沒有棋支援，我用 Bishop 吃了是沒有仇報。計棋之後，黑方應該最多可以用一個 Bishop 換一隻 Pawn 及 Knight ，又或吃一個 Pawn 後o趙完鬆，算是合理交易⁴ ，於是吃了那隻沒有支援的 Pawn 。

9. h3 Bxf3

白方行 h3 想迫走黑方的 bishop 。其實黑方真的可以安全o趙完鬆，但我真的不想浪費 tempo 去退這隻 bishop ，於是乎決定以一 Bishop 換一馬一兵，無謂浪費時間。但其實，白方事後要用一個 Pawn 去剷除 Bishop ，會形成 Doubled Pawn ，後面的那隻 Pawn 價值最少都減 0.5 分。計過條數，這單交易太超值。

10. exf3 a5

白方的確要用 Pawn 殺了那隻 Bishop 去保持 material balance ，亦形成了 Doubled Pawn 。黑方行側翼 Pawn ，是想破壞白方的 Pawn Structure 。

11. f4 axb4

白方並不領情，行了前面的 Doubled Pawn 。要是我想製造更多麻煩，又或者我是一個 Positional Player ，我會將那隻 Pawn 行去 a4 。但玩 Blitz Chess 太難當個 Positional Player ，我還是破壞那個 Structure 算了。

12. axb4 Rxa1

白方有兩個選擇，分別是 a3 及 c3 。我認為 c3 更為合理，最少可保持 Pawn structure ，但是白方竟選行 a3 ，打通了 Rook 大直路。我其實可以縮 Rook 的（如縮到 B7 ），可保多一隻 Rook 。但我的 Style 就是討厭浪費 Tempo 於退棋，反正我的 Material 仍然領先。我的當然之選是以 Rook 換 Rook ，大家都無 Rook 用。對方還被迫要將 Queen 送到最不 Effective 的死角，有賺。

13. Qxa1 b5

一如預料， Queen 送到一角。 b5 一步有點 experimental ，我行的時候也想這是否一個 Blunder ，事後證實是不錯的，因為這可以用一隻 Pawn 換他的 Bishop 進入虎穴。

14. Bxb5 Qd7

一如我的估計， Bishop 深入虎穴。我亦以 Queen 保那 Knight 。情況根本是第九步的翻版，一 Bishop 換一 Knight 一 Pawn 根本無用爻底的。如果我是白方會順手吃了那隻 Knight ，不見得黑方 Queen 在 c6 面對一排 Pawn 有何著數。

15. c4 Bxb4

白方沒有如所料吃 Knight ，更自毀長城，將堅實的 V 形 Pawn Structure 變成無得守的直條形。黑方一直想破壞的心腹大患竟然不攻自破，當然要利用其 Mistake ，就用黑格 Bishop 吃了沒仇報的 Pawn 。

16. cxd5 exd5

白方吃 Pawn 去保持 Material Balance ，又製成 Doubled Pawn 。 Doubled Pawn 是吃得不手軟的，根本無仇報。

17. Bxc6 Qxc6

白方終於用 Bishop 吃了 Knight ，太慢了。 Queen 現在吃了 Bishop ，前面已經無 Pawn 可檔。到這步為止，不妨分析下局勢：白方的 b3 Bishop 由始至終都被塞著，無作為。 d2 的 Knight 是被迫行到此處的，也難以發展。 Queen 被迫行到一角，威力減了四分三。 King 也不見得安全，因為沒有 Castle 仍在中間。

18. Ke2 Qc3

白方可能開始意識 King 不安全，不留在底線，但太早這樣做實是浪費 Tempo 。我認為他可選擇 Castling ，將 King 送到一邊，也將 Rook 送過來招呼來勢兇兇的 Queen 。我認為黑方全局最好的一著棋是這個，明顯是借鑑自 Bobby Fischer 的。這一步棋是用一個 Queen 同時 Fork 了三棋（ Queen, Knight 和 Pawn ）。 Queen 是沒有理由吃 Pawn 的，吃 Knight 理由也充分，因為吃了 Knight ， King 因為有 Bishop 守著不能吃了 Queen 。吃 Queen 理由都充分，大家一起無 Queen 用，提早進入 End Game ，我是這些人。

19. Rd1 Qxa1

白方真的以為我是 Logical 的人，派出 Rook 守 Knight 。但 Sorry 我是變態的，最討厭退棋， Queen 有何好保？同變態佬下棋，最好與他一起變態。白方真的應該用死角的 Queen 以 Queen 換 Queen ，反正都知對手是不會退棋的，將 Rook 行過來又是浪費 Tempo 。

20. Rxa1 Bxd2

白方被迫再行 Rook 吃 Queen ，都說是浪費 Tempo ，行一步的東西變了兩步。黑方又是以 x 換 x 急燥主義者，以 Bishop 換一個 Knight 在尾局就變得合理。⁵ 再加上黑方後面有 Knight 守著，無有怕的。

21. Kxd2 Ne4+

白方竟然用 King 來殺 Bishop ，而不用開局至今都沒有用的 e3 Bishop 。黑方再利用錯誤，行 Knight Check ，白方又要浪費 tempo 來移 King 了。

22. Kd3 f5

白方行 King 的位置錯唔晒， End game 是應將 King 送到場中間。但如果他想用 King 殺 Knight 的話是計錯數，因為 Knight 後有 Pawn 保著的。黑方都意識到 King 仍在 Back rank 太危險，要開路讓他走出來，順手頂實晒白方 Pawn 的去路。

23. f3 Nd6

白方行後面的 Doubled Pawn ，這次是要退的，因為 End game 的 Knight 太重要，亦不應為一隻 Pawn 而犧牲。

24. Ra7 Rc8

白方走到 7 號 Rank 是正確的，因為可恐嚇 Pawn ，也可迫使黑方 King 只留在 Back Rank 。黑方當然要擋，因為要繼續為 King 開路。

25. Ra6 Kf7

白方再走 Rook 上個 Rank 是計錯數了，因為那個 Knight 有 Pawn 照著，根本可以不行，行其他。黑方亦大模斯樣的將 King 移離 Back rank 。

26. Ra5 Ke6

上面才說 Rook 可以不行，白方再進一步浪費 tempo ，想謀 Pawn 。 End Game 一隻 Pawn 都不能少，要用 King 守。

27. Bd2 Ne4

白方終於為那隻 Bishop 鬆綁，可惜太遲了。黑方用 Knight 欲殺之。

28. Ra6+ c6

白方以 Rook Check ，想浪費黑方棋步。黑方仍有 Pawn 擋之。

29. Bb4 g6

白方始終都是要走 Bishop ，何不一早走。這一步其實幾好，令到黑方的八方退路少了兩路， Valid 的退路只有兩個。白方聰明的話有 Checkmate 的可能性，可惜是 Pawn 不是被頂著就是 Double 了。黑方將太過後的 Pawn 都帶上前，準備 Queening 。

30. Ra7 Re8

白方又行 Rook ，今雲是謀那隻沒有人保的 Pawn ，另將 King 的退路減至 1 (f6) 。其實白方有另一個 Option ，是將 Rook 移到 e7 ，到時就有大患，因為 King 又要走了。雖然我不認為白方有如此周詳的計算，我也防止這個可能性，於是要守 e7 一格，迫他行吃 Pawn 的一步。這一步我也很 doubtful 的，在 e8 和 h8 之間周旋。時間所逼行了 e8 。

31. Rxh7 Rb8

迫使了白方 Rook 殺 Pawn 。之後的一步 Rb8 想吃 Bishop 思考不周詳，但時期只餘下一分鐘了，想不了這麼多。如果再行或會行 Nf2+ 。

32. Re7+ Kf6

原來的惡夢來了，不能吃的 Rook 呀。 King 也只好避，那個位置的退路更少。

33. Ba3 Rb3+

白方為了保 Bishop 只好退，但其實退到何處都是死 （ c5/d6 被 Knight 吃）。 Rb3+ Check ，白方只可行 King 放棄 Bishop 。黑方那個 Rook 令到 King 只能停留在最後三個 Rank ，不能重回場中。

34. Kc2 Rxa3

King 一如預期迫行 King ， 黑方當然是殺沒仇報的 Bishop 。少了 Bishop ，下方的 Rook 也不足為患了。

35. fxe4 fxe4

白方又為了保 Material Balance 把 Knight 殺了，但其實怎樣殺都不 Balance 的了。黑方當然都殺 Pawn 。現在計計數，就知白方吃虧。白方三個 Pawn ， d4 塞著、 h3 隨時被殺、 f4 不能前進，根本無可能 Queening 。

36. Rc7 Rxh3

白方行 Rook 斬後尾的 c6 Pawn ，是沒有意義的。反而那個 c6 Pawn 是可以令 d4 Pawn 逃脫。計計棋就知應該行 h7 。既然白方如此慷慨，黑方 Rook 也只好斬 h3 Pawn 。

37. Rxc6+ Kf5

白方殺後尾 Pawn ，注定 d4 無運行。雖然是 Check ，但已經完全不足為患。 King 向前推，準備殺另一個 Pawn 。

38. Rc8 Kxf4

Rook 想回防遠距攻 King 。可惜那不是 Queen ，要行兩步才能轉彎。 King 吃了那個 Pawn ，白方只餘一個 Pawn 了。

39. Rf8+ Ke3

Rook 再 Check 又如何，大把地方逃走了。黑方這一步行得不好，又是時間太緊逼的問題。 Kg5 是更坐的選擇。

40. Kc3 Ke2+

白方行 King 守一千零一個 Pawn 。黑方上一步行的 King 是為白方提供了保護，可行回中場，笨晒。黑方其實不應行 King ，而應行 g6 的 Pawn 。行 King 的唯一合理理由是保著 e4 Pawn 行去 Queening 。

41. Kb4 Rh4

白方 King 可行去場中成心腹大患。黑方行 Rook 有點無聊，應該行 Pawn ，或保其他 Pawn ，如 d5 。

42. Kc5 e3

King 想吃 d5 企圖很明顯了，其實應該 Rook 去 h5 防止。時間緊逼亂行，行了 e3 。就算要行 Pawn ，應該行 g5 。

43. Re8 g5

白方的 Rook 根本不應狙擊 e 行的 Pawn ，而是攻擊 g 行。黑方明知你白方是不敢攻的，於是繼續將 Pawn 推進。

44. Kxd5 g4

King 終將 d5 Pawn 殺了。 g4 Pawn 再前進。

45. Kc6 g3

白 King 讓路給一千零一隻 Pawn 前進。白方也繼續讓 g 行 Pawn 推進。

46. d5 Rc4+

白方唯一勝算是 Queening ，於是讓 Pawn 推進。可是，黑方用 Rook check 浪費 tempo 。

47. Kd6 g2

白方將 King 行回去塞著 Pawn 前路，如我行會行去 b5 。白方浪費了的 tempo ，黑方再推進 g 行的 Pawn ，快要成 Queen 了。

48. Rg8 Kf2

白方終有意識殺 g 行 Pawn 才有著數。黑方行 King 共守再 Pawn 。

49. Ke5 g1=Q

白方行 King 是沒方法的方法。但其實根本過不了 4 號這行。 g 行的 Pawn 終於變成 Queen 。黑方下一步只好被迫吃了 Queen 犧牲。

50. Rxg1 Kxg1

一如預測， Rook 只好犧牲。

51. d6 e2

雙方餘下的 Pawn 鬥快 Queening ，但黑方是快一步的。

52. d7 e1=Q+

白方再行，黑方已可變 Queen ，更即時 Check 。

53. Kd6 Rd4+

King 又被迫行，又慢一步。黑方 Rook 再 Check ，又迫行 King ，白方變 Queening 的美夢應該碎了。

54. Kc7 Rxd7+

King 被迫行。黑方不想再浪費時間，於是連 Rook 都犧牲，阻止白方 Queening 。

55. Kxd7 Qd1+

King 只好吃了 Rook 。其實白方應該投降的了，但是他賴皮是成功的。

56. Ke7 Kf2 57. Kf6 Qd6+ 58. Kf5 Qd5+ 59. Kf6 Kg3 60. Ke7 Qc5+ 61. Ke6 Kf4 62. Kf6 Qd6+ 63. Kg7 Kf5 64. Kf7 Qd7+ 65. Kg8 Qe7

56 至 65 都只是追逐。目的是迫白方的 King 到死角。

66. Kh8 Qf7 1/2-1/2

就是忘記了 King-Queen Checkmate 的 Pattern ，變成了 Stalemate 。 King-Queen Checkmate 是這樣的。

其實不應用 Queen 將 King 迫得太緊。這局棋令我要練練 Checkmate pattern ，其實我與朋友下棋很少下到 End Game 殘局。

1. 另一個原因是，這些文原來是有人讀的。
2. 也許是不見經傳的原因。
3. 不少人問我 castling 的好處。先要帶出一個 fact ，就是專業棋賽有 90% 以上勝方都有 castling 。原因是 King 在棋盤中心，是很難防守的，而側翼的 Rook 如果沒有 castling 就要很慢才進入戰場。
4. 不計位置，我通常會將 Bishop 當是 3.5 分， Knight 是 3 分， Pawn 是 1 分。兩個情況都最少可賺 0.5 。
5. 因為 Knight 將死 King 的能力比 Bishop 為高，而 Bishop 之用途多為 Middle Game 掃場用。

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假設你要計這樣的東西：

int x³

minimum = 1, maximum = 3

如果用手計的話，就是先求其 antiderivative (F)。如果我的 A.Maths 仍然 valid 的話，F 就是 (x⁴)/4 + C 吧。之後再將 3 和 1 塞入 x 再相減¹，即是 (3⁴)/4 – (1⁴)/4 = 20.
如果你相當無聊的話，係可以叫電腦產生 n 個 1 至 3 的亂數，再塞入 x³ n 次。所有 n 個計算結果計其平均值。再將此 mean 值乘以 max 及 min 的差，是可得 Integral 的近似值。
在 R ，如果要產生 n 個一般亂數（ Uniform distribution 的亂數），可用 runif 的 function ，例如要產生 10000 個 1-3 之間的亂數：

runif(100000, min=1,max=3)

要計出上面的 definite integral 方法是：

# chew that < -
x<- runif(100000, min=1,max=3)
2*mean(x**3)

為何 mean 要乘 2 ，是因為 max – min = 2 。我求出的數字是 20.00751 ，與手計的 20 近似。當然， int 一次的話手計可能快過用機器模疑。但如果 int 了幾次的話，用這種方法求近似值會較快。

1. 即F(max) – F(min)

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# chew that < -
p <- seq(0.00,1,by=0.01)
prior <- dbeta(p,alpha(4/6,0.03),beta(4/6,0.03))
post.d <- dbeta(p,alpha(4/6,0.03)+8,beta(4/6,0.03)+0)
post.euro12.d <- dbeta(p,alpha(4/6,0.03)+8+3,beta(4/6,0.03)+0+3)
plot(p,prior, type="l", ylab="Density", lty=1, ylim=c(0,5))
lines(p,post.d, lty=2)
lines(p,post.euro12.d, lty=3)
legend(0,5,c("Beta Prior","Post World Cup","Post Euro 2012"),lty=c(1,2,3))

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老婆常看這些台灣節目。

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# chew that < -
alpha <- function (mu,v) {mu*(((mu*(1-mu))/v)-1)}
beta <- function (mu,v) {(1-mu)*(((mu*(1-mu))/v)-1)}

v 的大細，其實代表我們有幾企硬 p=4/6 。

# chew that < -
p <- seq(0.00,1,by=0.01)
prior001 <- dbeta(p,alpha(4/6,0.001),beta(4/6,0.001))
prior002 <- dbeta(p,alpha(4/6,0.002),beta(4/6,0.002))
prior003 <- dbeta(p,alpha(4/6,0.003),beta(4/6,0.003))
prior03 <- dbeta(p,alpha(4/6,0.03),beta(4/6,0.03))
plot(p,prior001, type="l", ylab="Density", lty=2)
lines(p,prior002, lty=1)
lines(p,prior003, lty=3)
lines(p,prior03, lty=4)
legend(0,12,c("v=0.001","v=0.002","v=0.003","v=0.03"),lty=c(2,1,3,4))

Variance 愈細企得愈硬。
當阿 Paul 估完8場世界盃中了八場，我們可以計算不同 Variance 的 prior 所計出之 Posterior 。得出來的數字都相當細。

# chew that < -
variance.beta <- c(0.001,0.002,0.003,0.03)
round( 1- pbeta(0.5, alpha(4/6,variance.beta)+8, beta(4/6,variance.beta)+0, lower.tail=FALSE),3)

假設我自己事前不算太企硬 p=4/6 ，我用 v 值 0.03 。事前和事後的 distribution 就是這樣求出：

# Chew that < -
p <- seq(0.00,1,by=0.01)
prior <- dbeta(p,alpha(4/6,0.03),beta(4/6,0.03))
post.d <- dbeta(p,alpha(4/6,0.03)+8,beta(4/6,0.03)+0)
plot(p,post.d, type="l", ylab="Density", lty=2)
lines(p,prior, lty=1)

還可以計算 95% interval estimation 。

# Chew that < -
qbeta(c(0.05,0.95),alpha(4/6,0.03)+8,beta(4/6,0.03)+0)

得出的 p 的 95% Credible Interval 是 0.68 至 0.97 。

另一個方法是用 simulation 的方法：

# Chew that < -
ps <- rbeta (1000,alpha(4/6,0.03)+8,beta(4/6,0.03)+0)
mean(ps)
quantile(ps,c(0.05,0.95))

可求出 95% Credible interval 為 0.69 至 0.97 。更可求出 mean 值是 0.85 。

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# Chew that < -
library("LearnBayes")
p <- seq(0.01,0.99,by=0.01)
prior <- rep(1,99)
prior.p <- prior/sum(prior)
cbind(p,prior.p)
trial <- c(8,0)
post.p <- pdisc(p, prior.p, trial)
plot(p,post.p, type="l", ylab="Posterior Prob.")
sum(post.p[p<=0.5])

問題是，我們沒有不應相信阿 Paul 估中機率 0.1 或 0.99 都是 equally likely 的。 阿 Paul 之前估歐國盃六場波，中四場（4/6=0.6667），這個似乎是更佳的 Prior probability 。
這裡要講講 Beta distribution 。 Beta 是 Binomial 的 conjugated prior 。 Beta 有兩個參數，分別是 alpha 及 beta ，是控制他的 Shape 。如果 beta (alpha=1, beta=1) ，是一個 Uniform distribution ，其實等同於上面的例子。
要根據一個 beta prior 來計出 Posterior probability 的 distribution ，其實很簡單，只是 beta (alpha + s, beta + f) 。¹ s 是實驗結果的成功次數， f 就是失敗次數。根據八估八中， s = 8, f = 0 。

# Chew that < -
p <- seq(0.00,1,by=0.01)
post.d <- dbeta(p,1+8,1+0)
prior <- dbeta(p,1,1)
plot(p,post.d, type="l", ylab="Density", lty=2)
lines(p,prior, lty=1)
1- pbeta(0.5, 1+8, 1+0, lower.tail=FALSE)

如果用 beta(10,10) 作 beta prior ，就會是一個 normal distribution 。

# Chew that < -
p <- seq(0.00,1,by=0.01)
post.d <- dbeta(p,10+8,10+0)
prior <- dbeta(p,10,10)
plot(p,post.d, type="l", ylab="Density", lty=2)
lines(p,prior, lty=1)
1- pbeta(0.5, 10+8, 10+0, lower.tail=FALSE)

問題是如何插入 4/6=0.667 這個 Prior information 。

1. 我真是一個不求甚解的學生，不要問我為何，這是抄自 Gelman 的 Bayesian Data Analysis 一書

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1

dbinom(7,10,0.5)

假定阿 Paul 的估計不比擲銀仔亂吹好，八場波估中八場的機率，就是 K=8, N=8, P = 0.5 ，得出的數字是 0.0039 。這個數算不算 rare ，自己定奪。十萬次會有 390 次，如果以 rare disease 的 incidence 作比較，這個不算了。
如果轉成 hypothesis testing ，這個叫做 binomial test 。兩個假設分別是

H0: True probability of success is equal to P
H1: True probability of success is not equal to P

要是用 R 的話，作 Binomial test 的 code 是這樣

1

binom.test(x=8,n=8,p=0.5)

得出 p-value 是 0.0078³ ，有證據推翻 H0 ，代表 True probability of success 統計學上明顯高於或低於 0.5 （ Fluke ）。這個計算的問題是，我們都知道估足球結果時選強隊，估中的機會是會高於 0.5 。

1. 有些人會以為有錢駛得鬼推磨，讓人去為你突破樽頸位，這些人根本不明白當一個科學家的意義。
2. 其實之前還估了六場歐洲國家盃，六戰四中。
3. 估中的 probability 是 100% ， 95% CI 是 63.1% to 100%

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(show chess board)(hide chess board)

雖說是在學圍棋，但我沒有放棄西洋棋（及 Backgammon ）。圍棋有其吸引的地方，但是一局棋像同時下四局西洋棋¹ ，太複雜，只怪我的腦袋不靈光。
在研究西洋棋時見到這一局，很有教育意義，於是選來講下。² 時間是 1970 年，在帕爾馬舉行的國際大賽。
兩位棋手，白方是 Bobby Fischer ，很多人都識得他，他曾經是棋王，代表美國對抗蘇聯的斯巴斯基，引起美國西洋棋熱。晚年由於逃稅問題，不能回到美國，反覆在菲律賓、日本、冰島等地居住，變成一個非常激進的反美份子。死後引起遺產爭議，或者因為他周圍「播種」的關係，菲律賓、日本都有人認是他的親人，還有住在美國的家人，要承繼他的遺產。最近還會在國際新聞見到他，是說他的屍體會再掘出，取基因樣本，與各自稱遺產承繼人驗血緣關係。
黑方叫 William Addison 。此君反而少人識，雖則他也代表美國出戰幾次。他少人認識，是因為他的職業生涯很短。他甚至在這次 1970 年國際大賽後，排名甚底，退出棋壇，到銀行界發展。
這局棋為何有趣，是說明了甚麼叫作 rapid development ，以及一些下棋的大忌。之前講過，棋的四大要素係 Material, Position, Tempo 和 King safety 。這局的 Opening 表露無遺。

1. e4 d5

King Pawn Opening ，黑方以 Scandinavian Defense 回應之。 Scandinavian Defense 近年又較少見，用得好的不多。此舉幾乎可以肯定白方的那隻 Pawn 會被吃掉，只是用甚麼方法。

2. exd5 Qxd5

白方以吃掉黑方作回應，這算是正常的回應。因為吃掉此 Pawn 後，黑方必需要保持 Material balance ，亦要減少白方控制棋盤中間的那隻 Pawn 。黑方是不能再移動其他 Pawn 慢慢的去殺，浪費 Tempo 。必須要快，於是白方以 Queen 殺之，完成了 Scandinavian Defense 之目的。
現代的玩法，已經不會再行 Queen ，因為太危險，反而黑方會行 Nf6 ，迫使黑方的 Pawn 棄子，亦無需 Queen 太早上戰場。

3. Nc3 Qd8

白方也無理由眼白白任由黑方的 Queen 企在棋盤中間，這種 Queen 最危險，因為幾乎控制了所有的直橫斜行。於是以騎士威脅她。黑方為保后，於是回朝。這是黑方第二次動 Queen 。看看棋盤形勢，雖然黑方退后保持了 Material Balance ，但明顯白方已經獲得了 Tempo 優勢，騎士己在攻擊位置，黑方還未 Develop 一隻棋。

4. d4 Nf6

白方擴大 Tempo 優勢，推兵控制棋盤中間守 e5 格。黑方現在才 Develop 騎士守 e4 為時已晚。

5. Bc4 Bf5

白方再 develop Bishop 守 d5 （騎士已守此格）及相應的大斜線。黑方的 Bishop 想 develop 可惜不能在 e6 守 d5 。唯有重覆騎士的職能同守 e4 。

6. Qf3 Qc8

白方繼續 develop ，以后佔大斜線。同時瞄準 b7 的 Pawn ，吃掉之後可以安全吃掉其 Rook 。 Fischer 有說過，他會根據對手的心理去下棋，再以擊敗別人的自尊為榮。這步棋，很有心理棋的感覺。或者他已經猜透對手 Addison 是一個只著重 Material 的人。或者 Fischer 本說沒有意思攻其 Rook ，只在虛張聲勢，但是當你腦中只有 Material 的時候，就覺得人家在謀你的 Material ，於是要死保那個 Rook ，於是乎就繼續浪費已經落後的 Tempo 。黑方這樣行 Queen 實在不智，這是六步內第三次移動 Queen 。就算黑方要守，更合理的方法是行 c6 ，阻塞白方 Queen 攻入 b7 的機會。

7. Bg5 Bxc2

白方上 Bishop 恐嚇黑方騎士，這一類高處掛 Bishop 嚇 Knight 的方法，多數不會在下一步就付諸行動，而那隻 Bishop 是預了去送死。黑方突然下 Bishop 殺 c2 小兵，足證黑方是一個只重 Material 人。當然，吃白方那隻小兵是非常安全的，逃走路線也有，只是不太值得。白方已經近乎全體進入備戰狀態，但是黑方還只 develop 了一隻 Knight 及 Bishop 。雖然白方輸蝕了一隻 Pawn ，但單看牌面就知黑方輸蝕更多，根本不足為懼。想看看黑方的 Tempo 有幾落後，以下數字可見：七步之內，白方行了同一隻 Queen 三次、同一隻 Bishop 兩次。相反，白方每一隻棋都只行過一次。

8. Rc1 Bg6

白方推 Rook 迫走 Bishop ，同時這個位置有利日後攻佔中間通道，與 castling 的作用類似，黑方根本在幫白方 develop 。白方仍然是 Material 最大主義，退 Bishop 。這是八步之內第三次行同一隻 Queen ，第三次同一隻 Bishop 。黑方的 Tempo 嚴重落後。白方只欠一騎士，就可以 Castling ，全體 develop 完畢，進入 Middle Game ，但是黑方還沒有 develop 一隻 Pawn 。

9. Nge2 Nbd7

白方連最後的騎士都行了， Castling 通道已經成形。黑方才慢慢的 develop 其另一隻騎士。位置也不算太理想，我認為 Nbc6 更佳，根本不用故意行去 d7 避對方的 Queen 。 d7 後方兩角都有 Pawn ，想一想就知對方是不會用 Queen 來換 Knight 的。

10. O-O e6

白方如預料 castling ，白方已經準備入 Middle Game 。直至這一步為止，白方仍然是一棋一步， Tempo 超過黑方太多。位置又已經全部 develop 好， King 又送到安全的地方。白方只是蝕了一隻 Pawn 而已。黑方再慢慢 develop Pawn ，已經遲晒大到。

11. Bxf6 gxf6

第七步送死的 Bishop 終於出擊，白方終於有一隻棋行了兩步。黑方為了 Material Balance ，用 Pawn 殺了 Bishop 。但同時， f 直行出現了 doubled pawn ，後面的那隻 Pawn 廢了。防止 doubled pawn 的方法，應用 Nxf6 。

12. d5 e5

白方上兵，黑不敢食。因為有助 Bishop 或 Knight 推進。

13. Bb5 Be7

白方移動 Bishop 恐嚇 Knight ，但其實這是一個 Pinning 的技量。 Knight 不能移動，因為 Knight 移走的話 King 就會被吃掉。白方可以保持這種狀態，再以棋值比 Bishop 低的棋（如 Pawn ）除掉不能移動的 Knight 。但這是很後的事，而一般情況可以嚇走 Bishop 取消 Pinning （如行 a6 ）。但是黑方沒有這樣做，還行了一步用途不明的棋。本來那隻 Bishop 就只守一斜線，行前一步都是行這斜線，再進一步浪費 tempo 。

14. Ng3 a6

白方行馬仍有 develop 感覺，準備攻擊更上的位置。這是因為黑方的 development 實在太慢，戰線要再推前。黑方現在才取消 Pinning 是太遲。

15. Bd3 Qd8

白方無理由因為一隻側翼的 Pawn 白蝕一隻 Bishop ，唯有退。黑方又行 Queen ，都是莫名奇妙，已經數不到這是他第幾次行 Queen 了。

16. h4 h5

白方行側翼的 Pawn ，以圖換一隻 Bishop 或 Rook ，黑方亦推側翼 Pawn 頂著。黑方除了不停浪費 Tempo 之外，也沒有太多 Strategic insight ，我只看到他在根據白方的計劃去下棋，他只是在被動的回應。

17. Bf5 Nb6

白方行 Bishop ， fork 了黑方一 Knight 及一 Bishop 。其實白方是不敢食的，因為吃了會被吃回，計算上無著數。黑方也是不敢食的，吃了不但是一物換一物等價交換，更有助白方 Bishop 或 Queen 進入中間位置，發揮威力。黑方行 Knight 只屬不過不失之選。

18. Nce4 Nxd5

白方行 Knight 是加強棋盤右邊那堆棋的實力，反正原來的位置作用都不太。這一步合理，是因為黑方的棋也主要集中在橫盤右方。黑方貪吃一隻 Pawn ，實在無謂，亦成敗局。

19. Rfd1 c6

白方移 Rook 嚇 Knight 之餘，其實也 Pin 了這隻 Knight ，因為黑方行開 Knight 的話， Queen 就被吃掉。黑方行 Pawn 是沒有法之下的辦法。

20. Nc3 Qb6

白方作勢以 Knight 換 Knight ，這個我想也是騙黑方的技術，或者白方根本無意放棄 Knight 。黑方破解 Pinning ，移動 Queen 。

21. Rxd5 cxd5

令人不解的是，為何白方會以 Rook 換一隻 Knight 。但其實黑方的 Knight 位置幾好，如果不再被 Pinning 鎖死的話，可能會引起大患。白方覺得這樣做合理，也不無理由。黑方作為 Material 最大主義者，必吃那 Rook ，以保 Material Balance ，防止被對方的 Rook 「o趙完鬆」蝕章。

22. Nxd5 Qxb2

白方吃掉那隻 Pawn ，取代了原來黑方那 Knight 的位置，同時恐嚇黑方的 Queen 。黑方的心理當然要 Queen 避，但也不應選 b2 ，我認為 d8 死守較好。

23. Rb1 Qxa2

當然，白方是不會白白讓黑方吃掉 Rook 的，於是移 Rook 嚇走 Queen ，但同時 Rook 被 Bishop 餘蔭守著， Queen 是不敢吃的。黑方又唯有走。

24. Rxb7 1-0

白方此步封了黑方 King 前路，而事實上沒有一隻棋可以快速阻止這隻 Rook 。白方更可以 Nf6+ 、 Bxg6 ，黑方死也是遲早的事，不妨早早投降更佳。

這局棋的教訓如下：

1. 開局時應採取一棋行一步的政策，以減少 tempo 浪費。假如某一開局或防守法要求一隻棋行多於一步，而你又不太熟識怎樣去行得好（如黑方用的 Scandinavian Defense ），不如不用。
2. Material 不是西洋棋唯一的因素。
3. 沒有計劃被動的下棋法，多數輸棋收場。

1. 相信等於同時下最少四十局 Backgammon
2. 雖然我知無人想讀。

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